Noviembre 11, 2013 | Carlos Ochoa

¿Qué tamaño de muestra necesito?

Una de las secciones de nuestra web más visitadas es la CALCULADORA DE MUESTRAS. Gracias a esta aplicación, indicando unos datos básicos sobre la población que deseas investigar y el máximo error que estás dispuesto a tolerar, obtienes una estimación del tamaño de muestra que necesitas para tu encuesta.

A menudo recibimos consultas relativas a esta calculadora: qué fórmulas emplea, qué significa margen de error, nivel de confianza... Hoy nos proponemos explicar cómo funciona exactamente.

Tamaño de muestra

El problema

El problema a resolver es el siguiente: queremos estudiar un universo de personas (por ejemplo, personas de Brasil entre 15 y 65 años, un total de 136 millones de personas) mediante una encuesta a una muestra de este universo. Por el hecho de que la muestra es de un tamaño inferior al total del universo, vamos a cometer cierto error en los datos que observemos. Si estamos dispuestos a aceptar un % de error determinado, ¿cuál es el tamaño de muestra mínimo que necesito encuestar?

 

La forma en que mido el error

Cuando quiero fijar el máximo error que estoy dispuesto a aceptar en una encuesta, lo habitual es referirnos a dos parámetros: el margen de error y el nivel de confianza. ¿Qué significa cada cosa?

El margen de error es el intervalo en el cuál espero encontrar el dato que quiero medir de mi universo. El dato puede ser en general de dos tipos: una media o una proporción. Por ejemplo, si quiero calcular la media de hijos que tienen los habitantes de Brasil entre 15 y 65 años, me gustaría poder decir que la media es 2,1 hijos/persona con un margen de error del 5%. Eso significaría que espero que la media esté entre 2,1 - 5% y 2,1 + 5%, lo que da un intervalo de 2,00 <-> 2,21.

Si quisiera definir un margen de error para una proporción, procedería de forma similar. Por ejemplo, me gustaría poder estimar el número de personas de Brasil entre 15 y 65 años que viven en un piso de propiedad, afirmando que son un total de 61.35 millones personas (45% de la población) con un margen del 5% de error, lo que significaría que la realidad está entre 68 millones (50%) y 54,5 millones (40%).

El nivel de confianza expresa la certeza de que realmente el dato que buscamos esté dentro del margen de error. Por ejemplo, siguiendo con el caso anterior, si obtenemos un nivel de confianza del 95%, podríamos decir que el porcentaje de personas de mi universo que viven en un piso de propiedad, en el 95% de los casos se encontrará entre el 40% y el 50%. O dicho de otra manera, si repitiese 100 veces mi encuesta seleccionando muestras aleatorias del mismo tamaño, 95 veces la proporción que busco estaría dentro del intervalo y 5 veces fuera.

 

Relación entre error y tamaño de muestra

Margen de error, nivel de confianza y tamaño de la muestra siempre van de la mano. Si quiero obtener un margen de error y un nivel de confianza determinado (por ejemplo, error del 5% con confianza 95%) necesitaré un tamaño de muestra mínimo correspondiente. Modificar cualquiera de los 3 parámetros, altera los restantes:

1. Reducir el margen de error obliga a aumentar el tamaño de la muestra.

2. Aumentar el nivel de confianza obliga a aumentar el tamaño de la muestra.

3. Si aumenta el tamaño de mi muestra, puedo reducir el margen de error o incrementar el nivel de confianza.

Pero, ¿qué fórmulas gobiernan la relación entre los parámetros anteriores? El conjunto de teoremas que se conocen como LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS viene a nuestro rescate. Estos teoremas son los que dan soporte matemático a la idea de que el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa. En concreto, el teorema del límite central demuestra que, en condiciones muy generales, la suma de muchas variables aleatorias independientes (en el ejemplo, los habitantes de Brasil que tienen piso de propiedad) «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada campana de Gauss).

Gracias al teorema del límite central, cuando calculamos una media (p.e. hijos por persona) o una proporción (p.e. % de personas con piso de propiedad) sobre una muestra, podemos saber cuál es la probabilidad de que el universo tenga ese mismo valor o un valor parecido.  El valor que calculemos en la muestra será el más probable para nuestro universo y a medida que nos alejamos de este valor (por arriba o por abajo) cada vez serán valores menos probables. En mi ejemplo, si el 45% de mi muestra de brasileños tiene piso de propiedad, puedo afirmar que 45% es el valor más probable del universo estudiado. Un porcentaje de 44% será algo menos probable, 43% aún menos, etc... Lo mismo sucede para valores superiores: 46% es menos probable que 45%.

La forma en que disminuye la probabilidad a medida que me alejo de la media corresponde a una distribución gaussiana. Podemos fijar un intervalo alrededor del valor más probable, de manera que englobemos el 95% de la probabilidad (nivel de confianza). La distancia a la que me tengo que alejar del valor más probable para englobar este 95% determina el margen de error.

Distribución gaussiana o normal.

 

Según el gráfico anterior, para una distribución normalizada (media 0, desviación 1) si queremos englobar los valores que cubren el 95% de los casos, tengo que definir un margen de error entre -1,96 y +1,96 de la media. Si quiero cubrir el 99% de los casos, el margen debe alejarse hasta +-2,58.

 

Y entonces, ¿qué está haciendo la calculadora?

Conociendo la propiedad anterior, es muy fácil adaptar las fórmulas de la distribución gaussiana a cualquier caso (sea cuál sea la media y desviación). Vamos a ver con detalle el caso de la estimación de una proporción. Para ello usamos la siguiente fórmula:

Fórmula tamaño muestra para estimación de proporciones con universos finitos

 

Donde:

n = El tamaño de la muestra que queremos calcular

N = Tamaño del universo (p.e. 136 millones de brasileños entre 15 y 65 años)

Z = Es la desviación del valor medio que aceptamos para lograr el nivel de confianza deseado. En función del nivel de confianza que busquemos, usaremos un valor determinado que viene dado por la forma que tiene la distribución de Gauss. Los valores más frecuentes son:

Nivel de confianza 90% -> Z=1,645

Nivel de confianza 95% -> Z=1,96

Nivel de confianza 99% -> Z=2,575

e = Es el margen de error máximo que admito (p.e. 5%)

p = Es la proporción que esperamos encontrar. Este parámetro suele confundir bastante a primera vista: ¿cómo voy a saber qué proporción espero, si justamente estamos haciendo una encuesta para conocer esta proporción?

La razón de que esta p aparezca en la fórmula es que cuando una población es muy uniforme, la convergencia a una población normal es más precisa, lo que permite reducir el tamaño de muestra. Si en mi ejemplo, yo espero que como máximo el % de personas que tengan un piso de propiedad sea un 5%, podría usar este valor como p y el tamaño de mi muestra se reduciría. Si por el contrario, desconozco completamente qué puedo esperar, la opción más prudente sería usar el peor caso: la población se distribuye a partes iguales entre propietarios y no propietarios, por lo que p=50%.

Como regla general, usaremos p=50% si no tengo ninguna información sobre el valor que espero encontrar. Si tengo alguna información, usaré el valor aproximado que espero (ajustando hacia el 50% ante la duda).

 

La fórmula anterior podemos simplificarla cuando trabajamos con universos de tamaño muy grande (se considera muy grande a partir de 100.000 individuos), resultando lo siguiente:

Fórmula tamaño muestra para estimación de proporciones con universos infinitos

 

Ejemplo: Retomamos nuestro caso anterior. Tenemos una población de 136 millones de brasileños entre 15 y 65 años, queremos saber qué % de ellos vive en un piso de propiedad, con un margen de error del 5% y un nivel de confianza del 95%. Supondremos que no tenemos ninguna información previa sobre cuál puede ser el % de propietarios que podemos obtener en la encuesta. En este caso puedo usar la fórmula simplificada pues 136 millones > 100.000, y usaremos p=50% pues no tengo información previa sobre el resultado esperado:

n = 1,962 * 0,5 * (1 - 0,5) / 0,052 = 384,16 -> 385

Debo encuestar por lo tanto a 384 personas para mantenerme dentro de los niveles de error definidos.

Si a raíz de un estudio realizado el año anterior obtuvimos que el % de brasileños propietarios de su vivienda era del 20%, y se espera que el dato de este año no haya variado en más de 5 puntos (entre 15% y 25%), podríamos reemplazar p por el peor caso esperado = 25%. El resultado sería:

n = 1,962 * 0,25 * (1 - 0,25) / 0,052 = 288,12 -> 289

 

Y si estoy tratando de estimar una media

Las fórmulas anteriores se emplean para determinar el tamaño de muestra que necesito cuando quiero estimar una proporción, pero existen unas fórmulas equivalentes cuando lo que trato de estimar es una media (por ejemplo, la edad media de los habitantes de un país). Las fórmulas son idénticas teniendo en cuenta que p(p-1) en realidad es una medida de la varianza de la población. Si estimo una media, debo usar una estimación de dicha varianza en la fórmula, en lugar de p(p-1). De esta forma, el tamaño de la muestra cuando trabajo con universos finitos es

Fórmula tamaño muestra para estimación de medias con universos finitos

Donde
σ2: Es la varianza que esperamos encontrar en la población (es el cuadrado de la desviación estándar, σ). Nuevamente, es un dato que debemos obtener de un estudio previo o de una estimación propia.

Nuevamente, podemos simplificar esta fórmula cuando el tamaño del universo es muy grande.

Fórmula tamaño muestra para estimación de medias con universos infinitos

Ejemplo: Supongamos que queremos estimar cual es el coeficiente intelectual medio de la población mundial con un margen de error de +-20 y un nivel de confianza del 99% (corresponde a Z=2,575). Sabemos de un estudio anterior que la desviación estándar de este coeficiente intelectual es 50. Usando la fórmula para universos grandes (puesto que la población mundial es mayor a 100.000 individuos), tendríamos

n = 2,5752 * 502 / 202 = 41,44 -> 42

 

¿Necesito hacer estos cálculos?

No, por eso disponemos de una calculadora que hace todo el trabajo por ti. Si estás tratando de estimar una proporción, sólo debes saber que el parámetro "nivel de heterogeneidad" es esta proporción esperada y, que en ausencia de información, deberás indicar un valor de 50%. Y si lo que necesitas estimar es el tamaño de una muestra para estimar una media o hacer otro cálculo más complejo, te invitamos a visitar la sección de calculadoras avanzadas.

Esperamos que os hayamos ayudado a interpretar el uso de estas calculadoras.

 

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Carlos Ochoa

Sobre el autor

Carlos Ochoa | Marketing and Innovation Manager

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